C’è poco da fare. Sarà forse ancora colpa di Benedetto Croce, ma in Italia la matematica non va giù facile. Prima ancora dei nerd, era considerata la scienza complessa, materia per introversi e asociali. Magari geni, tuttavia incompresi dai più.

Poi arriva il giorno in cui ti imbatti in Maria Letizia Bertotti, professore ordinario di matematica all’Università di Bolzano, e sei costretto a rivedere tutte le categorie di riferimento. E capisci che non solo la matematica è tutt’altro che arida, ma che addirittura sottende una passione per ciò che ci circonda. La sua matematica dei “sistemi complessi” cerca risposte scientifiche a problemi cogenti della società contemporanea: le diseguaglianze economiche, la mobilità sociale, l’evasione fiscale. Ma ci tiene a precisare che lei resta una matematica, devota alla ricerca di modelli semplificanti.

Intervista di Alessandra Papa

Così arriviamo al paradosso della matematica dei sistemi complessi che serve a semplificare. Ci spieghi come.

Bertotti: Se penso alla matematica che conosciamo dalla scuola formulo questa analogia: è come aver studiato la grammatica di una lingua per anni senza aver mai letto la letteratura. Aperta graffa, aperta quadra, a meno b per x… Come trovare un significato in tutto ciò? In realtà, la matematica è un linguaggio che serve a spiegare la natura. Basti pensare ad Eratostene, il matematico greco del III secolo a.C. che, misurando ad Alessandria l’ombra di un bastone perpendicolare al terreno nel giorno e nell’ora in cui i raggi del sole cadevano a perpendicolo in una città vicina e la cui distanza da Alessandria era nota, calcolò il diametro della terra con ottima approssimazione. Come? Utilizzando un semplice teorema di geometria sulle rette parallele che si studia ancora oggi alla scuola media. Insomma, grazie ad un modello teorico applicato all’osservazione della natura.

Ma allora parliamo della matematica come di un metodo per far emergere delle caratteristiche?

Bertotti: Certo. Questo ad esempio è ciò che fa la matematica nello studio dei cosiddetti sistemi complessi. Si pensi alla teoria cinetica dei gas. Dalla conoscenza delle regole che governano le collisioni delle molecole a livello microscopico si evincono aspetti macroscopici, cioè osservabili, come pressione e temperatura. Analogamente, un obiettivo tipico quando si studiano sistemi complessi è quello di comprendere il meccanismo e spiegare l'emergere di proprietà di macro-livello come risultato delle interazioni di micro-livello che avvengono tra singole componenti.

Se penso alla matematica che conosciamo dalla scuola formulo questa analogia: è come aver studiato la grammatica di una lingua per anni senza aver mai letto la letteratura.
(Maria Letizia Bertotti)

Date queste premesse, cosa si intende per sistemi complessi?

Bertotti: A grandi linee, i sistemi complessi hanno a che fare con situazioni nelle quali ha luogo una molteplicità di interazioni di entità costituenti (che possono essere caso per caso cellule, individui, piante, …) e in cui, come si dice, il tutto è sempre più della somma dei singoli. Tre proprietà tipiche dei sistemi complessi sono che: (1) sono composti da un elevato numero di unità differenti che interagiscono in modo ‘non lineare’; (2) esibiscono un comportamento di auto-organizzazione in assenza di un controllore centrale; (3) le loro proprietà collettive non possono essere comprese se si prescinde dal processo di relazioni, interazioni ed influenze dei vari elementi e ci si limita a considerare solo una singola unità. Esempi di sistemi complessi sono gli sciami di uccelli, le colonie di formiche, i mercati e le economie umane, le strutture sociali, il cervello umano con i suoi neuroni e così via.

La voce “complex systems” in google dà quasi 50 milioni di risultati. Come spiega questa attenzione?

Bertotti: La scienza dei sistemi complessi designa un nuovo approccio alla ricerca che abbraccia varie discipline. In questi anni è oggetto di vivo, rinnovato e crescente interesse in numerosi centri sparsi in tutto il mondo. Ciò accade anche grazie alla potenza di calcolo dei computer moderni, che consentono simulazioni impensabili fino a pochi decenni fa.

Faceva l’esempio delle economie umane. Gli esseri umani non agiscono tutti allo stesso modo. Come si arriva a pensare in termini di modelli elaborati su base matematica?

Bertotti: Si può ragionare considerando i singoli individui come appartenenti a varie classi caratterizzate da qualche proprietà, ad esempio classi di reddito. Classi nelle quali, però, il numero di individui cambia continuamente. Quando ha luogo uno scambio economico tra due individui appartenenti a due classi di reddito diverse, in sostanza quello che paga diventerà leggermente più povero a favore dell’altro, inducendo così una variazione nelle classi di reddito cui i due appartengono. Lo scambio poi implica una ulteriore variazione dovuta alle tasse pagate ed alla redistribuzione che lo Stato effettua.

A cosa porta osservare, attraverso equazioni complesse, queste interazioni?

Bertotti: Semplice: a poter prevedere possibili futuri scenari corrispondenti a policy diverse. Come matematici possiamo creare strutture entro le quali formulare modelli che descrivano l’evoluzione nel tempo del sistema. Un esempio concreto. Con il collega di facoltà Giovanni Modanese abbiamo formulato ed investigato un modello che contempla l’evasione fiscale. Le simulazioni dimostrano sistematicamente che in presenza di evasione si verifica un aumento degli individui appartenenti alle classi di reddito più povere e a quelle più ricche, a detrimento della classe media. In sostanza, l’evasione fiscale tende a polarizzare la società riducendo la classe media. Ancora: i nostri modelli suggeriscono che sia più efficace una policy di decremento della redistribuzione del gettito fiscale sulla classe più abbiente piuttosto che un aumento della pressione fiscale.

Ma per questo non ci sono già gli economisti e la loro matematica?

Bertotti: In realtà, esiste un’area dell’economia - relativamente recente - che tiene conto delle diversità degli agenti che operano in un dato insieme (un mercato, una società, etc.). In quest’area si parla di economy as an evolving complex system – economia come un sistema complesso. Gli economisti che adottano questa prospettiva lavorano tipicamente con simulazioni computazionali agent-based. È a questo punto che anche il matematico può dare il suo contributo (Ludwig Boltzmann lo aveva immaginato fin dal 1904): con strumenti al tempo stesso rigorosi e flessibili, elabora sistemi di equazioni che possono contenere molti parametri e rappresentare molte variabili. Le variabili della vita umana.

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